Пространственная геометрия, курс которой проходят в старших классах школ, рассматривает характеристики и свойства различных геометрических фигур в трехмерном измерении. Одной из известных таких фигур является конус. Что это - конус, какими элементами он описывается и какими свойствами обладает, на эти вопросы даст ответ статья.
Конус в геометрии
С точки зрения стереометрии, конус - это фигура, образованная в пространстве с помощью соединения прямыми отрезками некоторой точки с кривой на плоскости. Эта кривая называется директрисой, или направляющей. Она ограничивает основание фигуры. Директриса может представлять собой замкнутую линию, например эллипс или окружность, или же быть не замкнутой, как гипербола или парабола. Все отрезки, которые соединяют директрису с упомянутой выше точкой пространства, называются генератрисами, или образующими. Совокупность образующих определяет коническую поверхность, а точка, из которой они выходят, называется вершиной конуса.
Таким образом, конус - это фигура, имеющая одну вершину, не имеющая ребер и состоящая из двух поверхностей (плоское основание и боковая коническая поверхность). Эллиптический конус показан на рисунке выше.
Круговой, или круглый конус
Под словом "круглый" в названии пункта понимают фигуру, основание которой представляет собой круг. В отличие от других видов конуса, круглую фигуру можно получить в результате вращения. Рисунок ниже наглядно демонстрирует этот процесс.
Поясним кратко, что показывает рисунок. Треугольник ABC является прямоугольным. Если его вращать вокруг катета AB, то катет AC опишет одну поверхность конуса - основание, а гипотенуза BC в результате вращения приведет к формированию конической поверхности.
Показанный на рисунке конус является не только круглым, но также прямым. Последнее свойство важно учитывать при выполнении расчетов линейных параметров, площади и объема фигуры.
Геометрическая фигура конус является прямой, если высота h падает точно в центр основания (в данном случае высотой является отрезок AB, а центром основания - точка A). Если указанное условие не выполняется, тогда фигуру называют наклонной. Наклонный и прямой конусы для наглядности показаны ниже.
Формой конуса с круглым основанием обладают многие окружающие нас предметы, например мороженое-рожок, дорожный полосатый конус или воронка для наливания жидкости через узкие отверстия.
Далее рассмотрим количественные характеристики прямого конуса с круглым основанием.
Линейные размеры фигуры и угол при основании
Линейные размеры конуса - это набор параметров, которые позволяют однозначно задать фигуру в пространстве. Ими являются следующие:
- радиус основания r;
- высота h;
- генератриса g.
Отметим, что для рассматриваемого вида конуса все генератрисы равны друг другу и пересекают основание фигуры под одним и тем же углом.
Помимо названных линейных параметров, конус характеризуется также углом φ между генератрисой и основанием.
Все названные характеристики связаны друг с другом следующими основными уравнениями:
g = √(h2+r2);g = h/sin(φ);g = r/cos(φ);h = r*tg(φ)
Эти равенства можно записать самостоятельно, если рассмотреть прямоугольный треугольник внутри конуса и вспомнить определения указанных тригонометрических функций.
Площадь поверхности
Площадь основания и конической поверхности является важной характеристикой конуса. Нагляднее и проще изучать поверхность фигуры не в трехмерном, а в двумерном пространстве. Для этого делают так называемую развертку фигуры. Представить процесс ее получения можно так: предположим, что имеется конус из бумаги. Отрежем сначала его основание вдоль окружности, а затем разрежем коническую поверхность вдоль образующей и развернем ее. Мы получили развертку конуса, которая показана ниже на рисунке.
Площадь всей развертки S равна:
S = So + Sb
Где первое слагаемое (So) является площадью круга, второе слагаемое (Sb) - это площадь кругового сектора, отражающего коническую поверхность. Величина So вычисляется по следующей формуле:
So = pi*r2
С круговым сектором дело обстоит сложнее. Он ограничен двумя радиусами, длина которых равна генератрисе g, и одной дугой, соответствующей длине окружности круга основания. Эта численная информация позволяет однозначно определить площадь сектора. Не будем вдаваться в математические вычисления, а приведем сразу конечную формулу для Sb:
Sb = pi*r*g
Сравнение записанных формул для Sb и So говорит о том, что площадь боковой поверхности всегда больше таковой для основания в g/r раз.
Формула для общей площади поверхности выглядит так:
S = pi*r*(r + g)
Объем фигуры
Конус - это пространственная фигура, поэтому он обладает определенным объемом. Он численно соответствует области пространства, которая ограничена конической поверхностью и круглым основанием. Для определения объема конуса пользуются таким выражением:
V = 1/3*So*h
Подставляя в это выражение формулу для So, получаем:
V = 1/3*pi*r2 *h
Некоторые читатели могли заметить, что формула для объема конуса соответствует таковой для пирамиды. Это совпадение не является случайным, поскольку формы этих фигур становятся идентичными, если число ребер прямой пирамиды увеличивать до бесконечности.