Что такое предикат? Это слово встречается в лингвистике, математике, философии и программировании. Но не может же быть так, что в этих столь разных науках это слово имеет одинаковое значение? Математическая логика дает свою, особую трактовку этого термина. Начнем с нее.
Предикат в математике
В математической логике предикат обычно понимается как функция P: X → {правда, ложь}, называемая предикатом X. Однако предикаты имеют много разных применений и интерпретаций в математике и логике, и их точное определение, смысл и использование будут варьироваться от теории к теории. Так, например, если теория определяет понятие отношения, то предикат является просто характеристической функцией, иначе известной как индикаторная функция отношения. Однако не все теории имеют отношения или основаны на теории множеств, поэтому нужно быть осторожным с правильным определением и семантической интерпретацией предиката.
Правда или ложь
Если вам все еще непонятно, что такое предикат в математике, то стоит остановиться на этом подробнее. Неформально предикат - это утверждение, которое может быть истинным или ложным в зависимости от значений его переменных. Его можно рассматривать как оператора или функцию, которая возвращает значение, являющееся истинным или ложным. Например, предикаты иногда используются для указания набора элементов: при разговоре о наборах иногда бывает неудобно или невозможно описать набор, перечисляя все его элементы. Таким образом, предикат P (x) будет истинным или ложным, в зависимости от того, принадлежит ли x множеству.
Свойства объектов
Предикаты в математической логике также широко используются, чтобы говорить о свойствах объектов, определяя набор всех объектов, имеющих общее свойство. Так, например, когда P является предикатом X, иногда можно сказать, что P является свойством X. Аналогично, обозначение P (x) используется для обозначения предложения или утверждения P относительно объекта переменной Х. Множество, определенное P (x), записывается как {x | P (x)} и является множеством объектов, для которых P истинно.
Например, {x | x - натуральное число, меньшее 4} - множество {1,2,3}.
Если t - элемент множества {x | P (x)}, то утверждение P (t) истинно.
Здесь P (x) называется предикатом, а x - заполнителем предложения. Иногда P (x) также называется пропозициональной функцией, так как каждый выбор с Х создает предложение.
Простым видом предиката (П) является булево выражение, и в этом случае входы в выражение сами являются значениями, объединенными с использованием булевых операций. Булево выражение со множеством истинности предиката является более сложным явлением.
Формальное определение
- Точная семантическая интерпретация атомной формулы и атомного предложения будет варьироваться от теории к теории.
- В пропозициональной логике атомные формулы называются пропозициональными переменными. В некотором смысле это предикаты с нулевыми значениями.
- В логике первого порядка атомная формула состоит из предикатного символа, применяемого к соответствующему числу членов.
- В теории множеств предикаты понимаются как характерные функции или задают функции индикатора, т. е. функции от заданного элемента до значения истины.
- Метод построения видов суждений использует предикаты для их определения.
- В автоэпистемической логике, которая отвергает закон исключенного среднего, предикаты могут быть истинными, ложными или просто неизвестными, т. е. данный набор фактов может быть недостаточным для определения истины или ложности предиката.
- В нечеткой логике предикаты являются характерными функциями распределения вероятностей. То есть строгая истинная / ложная оценка предиката заменяется величиной, интерпретируемой как степень правды.
Предикат в грамматике
Существует два конкурирующих понятия предиката в теориях грамматики. Конкуренция между этими двумя концепциями породила путаницу в отношении использования термина «предикат» в теориях грамматики. Так что такое предикат? В этой статье рассматриваются оба эти понятия.
Первое понятие относится к традиционной грамматике, которая имеет тенденцию рассматривать предикат как одну из двух основных частей предложения, другая часть является предметом. Цель предиката состоит в том, чтобы завершить представление о предмете, например, что он делает или что из себя представляет.
Второе понятие было получено из работы в исчислении предикатов (логика предикатов, логика первого порядка) и является заметным в современных теориях синтаксиса и грамматики. В этом подходе предикат предложения в основном соответствует главному глаголу и любым вспомогательным средствам, которые сопровождают главный глагол. В то же время его аргументы (например, фразы существительные) находятся за пределами предиката.
В традиционной грамматике
Понятие П в традиционной грамматике вдохновлено пропозициональной логикой древности (в отличие от более современной логики предикатов). Предикат рассматривается как свойство, которое субъект имеет. Следовательно, предикат является выражением, которое может быть истинным. Таким образом, выражение «движется» верно для всего, что движется. Это дает ответ на вопрос, что такое предикат.
Такое классическое понимание предикатов было принято более или менее непосредственно в латинской и греческой грамматиках, и оттуда оно попало в грамматику английского и русского языков, где применяется непосредственно к анализу структуры предложения. Это понимание П также используется в англоязычных словарях.
Субъект и предикат
Предикат является одной из двух основных частей предложения (другой - субъект, который предикат модифицирует). Он должен содержать глагол, и глагол требует или разрешает другим элементам заполнять предикат.
Предикат предоставляет информацию о предмете: чем он является, что делает субъект, или что такое объект. Связь между субъектом и его предикатом иногда называется языком предикатов. Его номинал - это существительная фраза. Например, в фразе "Джордж III - король Англии", король Англии является предикативным номиналом. Субъект и предикативный номинал должны быть соединены связующим глаголом, также называемым копулой. Субъект и предикативное прилагательное также должны быть связаны связкой.
В синтаксисе
Синтаксический П указывает синтаксическую обоснованность применения произведения в формальной грамматике и аналогичен семантическому предикату, который определяет семантическую действительность применения произведения. В своей первоначальной реализации синтаксические предикаты имели форму «(α)?» и могли появляться только на левом краю произведения. Необходимым синтаксическим условием α может быть любой допустимый контекстно-свободный фрагмент грамматики.
Более формально синтаксический предикат представляет собой форму производственного пересечения, используемого в спецификациях парсера или в формальных грамматиках. В этом смысле термин имеет значение математической функции индикатора. Если p1 и p2 являются производственными правилами, язык, сгенерированный как p1, так и p2, является их заданным пересечением.
Размышляющие грамматики выражений (PEGs), изобретенные Брайаном Фордом, расширяют эти простые П, позволяя им появляться где угодно в пределах производства наравне с "не предикатами". Более того, Форд изобрел процедуру разбора для обработки этих грамматик в линейном времени.
Этот подход реализуется в ANTLR версии 3, которая использует детерминированные конечные автоматы для просмотра. Это может потребовать тестирования предиката для выбора между синтаксическими переходами (так называемый «пред-LL (*)» синтаксический анализ).
В современных теориях синтаксиса
Большинство современных теорий синтаксиса и грамматики берут свое начало в теории исчисления предикатов, связанных с Готлобом Фреге. Это понимание видит предикаты как отношения или функции, стоящие над аргументами. Они служат либо для назначения свойства одному аргументу, либо для связи двух или более аргументов друг с другом. Предложения состоят из предикатов и их аргументов (и дополнений) и являются, таким образом, структурами предикатного аргумента. В соответствии с ними данный П рассматривается как связывание его аргументов с большей структурой.
Предикаты помещаются слева за пределами скобок, тогда как их аргументы помещаются внутри скобок. Один признает валентность предикатов, в соответствии с которым он может быть доступен (не показан), моновалентный, двухвалентный или трехвалентный. Эти типы представлений аналогичны формальным семантическим анализам, где речь идет о надлежащем учете фактов кванторов и логических операторов. Однако в отношении основной структуры предложения эти представления предполагают прежде всего, что глаголы являются предикатами, а фразы существительных, с которыми они появляются, являются их аргументами. При таком понимании предложения двоичное деление предложения на предмет NP и предикат VP вряд ли возможно. Вместо этого глагол является предикатом, а существительные - его аргументами.
В логике
Логика первого порядка, также известная как исчисление предикатов первого порядка и логика предикатов, представляет собой набор формальных систем, используемых в математике, философии, лингвистике и информатике. Логика первого порядка использует квантованные переменные над объектами и позволяет использовать предложения, содержащие переменные. Это отличает его от логики высказываний, которая не использует кванторы или отношения.
Логика первого порядка
Подобные теории, как правило, является частью логики первого порядка вместе с определенной областью дискурса, по которой варьируются квантифицированные переменные. Иногда теория понимается в более формальном смысле, а это всего лишь набор предложений в логике первого порядка.
Используемые прилагательные отличают логику первого порядка от логики высших порядков, в которой есть П, имеющие определяющие предикаты или функции в качестве аргументов, или в которых разрешены один или оба квантора предикатов или кванторы функций. В теориях первого порядка предикаты часто связаны с множествами. В интерпретируемых теориях более высокого порядка их можно интерпретировать как множества. Нечто похожее используется и в определении предиката в программировании. Это не удивительно, ведь математика стала своего рода сырьем для этой науки.
Теоретическая часть
Существует много дедуктивных систем для видов суждений и логики первого порядка, которые являются как звуковыми (все доказуемые утверждения верны во всех моделях), так и полными (утверждения, которые верны для всех моделей, являются доказуемыми). Хотя отношение логического следствия разрешимо лишь наполовину, в автоматизированной теореме, доказанной в логике первого порядка, достигнут значительный прогресс. Логика первого порядка также удовлетворяет нескольким металогическим теоремам, которые делают ее пригодной для анализа в теории доказательств, такой как теорема Левенхайма-Сколема и теорема о компактности.
Логика первого порядка является стандартом для формализации математики в аксиомах и изучается в основах математики. Арифметика Пеано и теория множеств Цермело-Френкеля являются аксиоматизациями теории чисел и теории множеств, соответственно, являются частью логики первого порядка. Однако теория первого порядка не имеет возможности однозначно описывать структуру с бесконечной областью, например натуральные числа. Системы аксиом, которые полностью описывают эти две структуры (то есть системы категориальной аксиомы), могут быть получены в более сильных формах логики, таких как логика второго порядка.
Основы логики первого порядка были разработаны независимо Готлобом Фреге и Чарльзом Сандерсом Пирсом.