Формула для нахождения длины дуги окружности довольно проста, и очень часто на важных экзаменах типа ЕГЭ встречаются такие задачи, которые невозможно решить без ее применения. Также необходимо ее знать для сдачи международных стандартизированных тестов, например SAT и других.
Чему равна длина дуги окружности?
Формула выглядит следующим образом:
l = πrα / 180°
Что собой представляет каждый из элементов формулы:
- l - длина дуги окружности;
- π - число Пи (постоянная величина, равная ≈ 3,14);
- r - радиус данной окружности;
- α - величина угла, на который опирается дуга (центральный, а не вписанный).
Как видно, чтобы решить задачу, в условии должны присутствовать r и α. Без этих двух величин длину дуги найти невозможно.
Каким образом выводится эта формула и почему она так выглядит?
Все предельно легко. Станет намного понятнее, если в знаменателе поставить 360°, а в числителе спереди добавить двойку. Также можно α не оставить в дроби, вывести ее и написать со знаком умножения. Это вполне можно себе позволить, так как данный элемент стоит в числителе. Тогда общий вид станет таким:
l = (2πr / 360°) × α
Просто для удобства сократили 2 и 360°. А теперь, если приглядеться, то можно заметить очень знакомую формулу длины всей окружности, а именно - 2πr. Весь круг состоит из 360°, потому мы делим полученную меру на 360 частей. Затем мы умножаем на число α, то есть на то количество "кусков пирога", которое нам требуется. Но всем доподлинно известно, что число (то есть длина всей окружности) не может делиться на градус. Что же делать в таком случае? Обычно, как правило, градус сокращается с градусом центрального угла, то есть с α. После же остаются только числа, а в итоге получается конечный ответ.
Этим можно объяснить то, почему длина дуги окружности находится таким образом и имеет такой вид.
Пример задачи средней сложности с применением данной формулы
Условие: Имеется окружность с радиусом 10 сантиметров. Градусная мера центрального угла составляет 90°. Найти длину дуги окружности, образованную этим углом.
Решение: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π
Ответ: l = 5π
Также возможно, чтоб вместо градусной меры давалась бы радианная мера угла. Ни в коем случае не стоит пугаться, ведь на сей раз задача стала намного легче. Чтобы перевести радианную меру в градусную, нужно данное число умножить на 180° / π. Значит, теперь можно подставить вместо α следующую комбинацию: m × 180° / π. Где m - это радианное значение. А дальше 180 и число π сокращаются и получается совершенно упрощенная формула, которая выглядит следующим образом:
l = mr,
где:
- l - длина дуги окружности;
- m - радианная мера угла;
- r - радиус данной окружности.