Прямая в геометрии является одним из самых важных элементов, поскольку из нее собираются многие фигуры как на плоскости, так и в пространстве. Достаточно назвать треугольник, параллелограмм, призму, пирамиду - все они образованы пересекающимися прямыми. В данной статье дан ответ на вопрос, как по двум точкам составить уравнение прямой.
Уравнение прямой для двумерного и трехмерного случаев
Прежде чем переходить к обсуждению вопроса, как по двум точкам составить уравнение прямой, следует понять, о чем идет речь.
Под уравнением прямой понимают равенство, связанное с принятой системой координат, причем все значения переменных, удовлетворяющие ему, должны ложиться на одну прямую. В двумерном и трехмерном случаях это уравнение можно задать в следующем виде:
Q = P + α*u¯
Здесь Q - координаты произвольной точки прямой, P - координаты конкретной точки, принадлежащей прямой, u¯ - направляющий вектор, α - любое действительное число. Направляющий вектор u¯ является параллельным прямой. Это выражение называется параметрически-векторным уравнением.
В двумерном случае каждая точка на плоскости однозначно задается двумя координатами x и y, поэтому можно записать уравнение прямой в виде:
(x; y) = (x0; y0) + α*(a; b)
Где (x0; y0) - координаты известной точки прямой, (a; b) - координаты направляющего вектора. В параметрическом виде это уравнение можно переписать как систему из двух уравнений:
x = x0 + α*a;y = y0 + α*b.
Выражая параметр альфа и приравнивая полученные равенства, приходим к виду:
y = b/a*x+(y0-x0*b/a) илиy = A*x + C, где A = b/a, C = (y0-x0*b/a)
Полученное выражение знакомо каждому школьнику. Оно называется общим уравнением прямой на плоскости.
В пространстве каждая точка задана не двумя, а тремя координатами, поэтому ее уравнение параметрически-векторное принимает форму:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a; b; c)
Параметрически-векторное уравнение удобно использовать, когда нужно составить уравнение прямой, проходящей через две точки.
Прямая и две точки
Теперь рассмотрим непосредственно вопрос статьи. Как по двум точкам составить прямой уравнение? Сначала получим уравнение на плоскости, а затем обобщим его для трехмерного случая.
Предположим, что имеется две точки на плоскости P(x1; y1) и Q(x2; y2). Если взять разность координат точек, то мы получим вектор, который направлен от одной из них к другой. Этот вектор равен:
PQ¯(x2-x1; y2-y1)
В данном случае PQ¯ направлен от P (начало направленного отрезка) к Q (его конец). Поскольку обе точки принадлежат прямой, то и вектор PQ¯ принадлежит ей. Это означает, что его можно считать направляющим. Уравнение прямой принимает вид:
(x; y) = (x1; y1) + α*(x2-x1; y2-y1)
Здесь мы взяли точку P. Если ее заменить точкой Q, то уравнение не изменится.
Как по двум точкам составить уравнение прямой в пространстве? Обобщая полученную формулу для плоскости, получаем:
(x; y; z) = (x1; y1; z1) + β*(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Другая буква для параметра взята чтобы показать независимость этого и предыдущего уравнений.
Пример решения задачи
Разобравшись, как составить прямой уравнение по двум точкам, приведем пример использования полученных знаний для двумерного случая.
Пусть имеются точки на плоскости (3; -4) и (0; 7). Необходимо составить через две точки прямой уравнение.
Вычисляем координаты направляющего вектора:
(0-3; 7-(-4)) = (-3; 11)
Параметрически-векторное уравнение имеет вид:
(x; y) = (3; -4) + α*(-3; 11)
Раскроем его и приведем к общему виду:
x = 3 - 3*α => α = (x-3)/(-3);y = -4+11*α => α = (y+4)/11;(x-3)/(-3) = (y+4)/11 =>y = -11/3*x+7.
Мы получили уравнение в привычном (общем) виде. Можно проверить его справедливость, подставив координаты обеих точек из условия задачи.