Чтобы изменить скорость перемещения тела в пространстве, необходимо приложить некоторое усилие. Этот факт относится ко всем видам механического движения и связан с наличием инерционных свойств у объектов, имеющих массу. В данной статье рассматривается вращение тел и дается понятие об их моменте инерции.
Что такое вращение с точки зрения физики?
Ответ на этот вопрос может дать каждый человек, поскольку этот физический процесс ничем не отличается от его понятия в обиходе. Процесс вращения представляет собой перемещение объекта, обладающего конечной массой, по круговой траектории вокруг некоторой воображаемой оси. Можно привести следующие примеры вращения:
- Движение колеса автомобиля или велосипеда.
- Вращение лопастей вертолета или вентилятора.
- Движение нашей планеты вокруг оси и вокруг Солнца.
Какие физические величины характеризуют процесс вращения?
Перемещение по окружности описывается набором величин в физике, основные из которых перечислены ниже:
- r - расстояние до оси материальной точки массой m.
- ω и α - угловая скорость и ускорение, соответственно. Первая величина показывает, на сколько радиан (градусов) поворачивается тело вокруг оси за одну секунду, вторая величина описывает скорость изменения во времени первой.
- L - момент импульса, который подобен аналогичной характеристике при линейном движении.
- I - момент инерции тела. Эта величина рассматривается ниже в статье подробно.
- M - момент силы. Он характеризует степень изменения величины L, если приложена внешняя сила.
Перечисленные величины связаны друг с другом следующими формулами вращательного движения:
- L = I*ω
- M = I*α
Первая формула описывает круговое движение тела в отсутствие действия внешних моментов сил. В приведенном виде она отражает закон сохранения момента импульса L. Второе выражение описывает случай ускорения или замедления вращения тела в результате действия момента силы M. Оба выражения часто используются при решении задач динамики по круговой траектории.
Как видно из этих формул, момент инерции относительно оси (I) в них используется в качестве некоторого коэффициента. Рассмотрим подробнее эту величину.
Откуда появляется величина I?
В этом пункте рассмотрим самый простой пример вращения: круговое перемещение материальной точки массой m, дистанция которой от оси вращения составляет r. Эта ситуация приведена на рисунке.
Согласно определению, момент импульса L записывается, как произведение плеча r на линейный импульс p точки:
L = r*p = r*m*v, поскольку p = m*v
Учитывая, что линейная и угловая скорость связаны друг с другом через расстояние r, это равенство можно переписать так:
v = ω*r => L = m*r2*ω
Произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения принято называть моментом инерции. Формула выше перепишется в таком случае следующим образом:
I = m*r2 => L = I*ω
То есть мы получили выражение, которое было приведено в предыдущем пункте, и ввели в использование величину I.
Общая формула для величины I тела
Выражение для момента инерции массой m материальной точки является базовым, то есть оно позволяет рассчитать эту величину для любого тела, имеющего произвольную форму и неоднородное распределение массы в нем. Для этого необходимо разбить рассматриваемый объект на маленькие элементы массой mi (целое число i - номер элемента), затем, умножить каждый из них на квадрат расстояния ri2 до оси, вокруг которой рассматривают вращение, и сложить полученные результаты. Описанную методику нахождения величины I можно записать математически так:
I = ∑i(mi*ri2)
Если тело разбито таким образом, что i->∞, тогда приведенная сумма заменяется интегралом по массе тела m:
I = ∫m(ri2*dm)
Этот интеграл эквивалентен другому интегралу по объему тела V, поскольку dV=ρ*dm:
I = ρ*∫V(ri2*dV)
Все три формулы используются для вычисления момента инерции тела. При этом в случае дискретного распределения масс в системе предпочтительнее пользоваться 1-м выражением. При непрерывном распределении массы применяют 3-е выражение.
Свойства величины I и ее физический смысл
Описанная процедура получения общего выражения для I позволяет сделать некоторые выводы о свойствах этой физической величины:
- она является аддитивной, то есть полный момент инерции системы можно представить, как сумму моментов отдельных ее частей;
- она зависит от распределения массы внутри системы, а также от расстояния до оси вращения, чем больше последнее, тем больше I;
- она не зависит от действующих на систему моментов сил M и от скорости вращения ω.
Физический смысл I заключается в том, насколько сильно система препятствует любому изменению скорости ее вращения, то есть момент инерции характеризует степень "плавности" возникающих ускорений. Например, колесо велосипеда можно легко раскрутить до больших угловых скоростей и также легко его остановить, но чтобы изменить вращение маховика на коленвале автомобиля, понадобится приложить значительное усилие и некоторое время. В первом случае имеет место система с маленьким моментом инерции, во втором - с большим.
Значение I некоторых тел для оси вращения, проходящей через центр масс
Если применить интегрирование по объему для любых тел с произвольным распределением массы, то можно получить для них величину I. В случае однородных объектов, которые имеют идеальную геометрическую форму, эта задача уже решена. Ниже приводятся формулы момента инерции для стержня, диска и шара массой m, в которых составляющее их вещество распределено равномерно:
- Стержень. Ось вращения проходит перпендикулярно ему. I = m*L2/12, где L - длина стержня.
- Диск произвольной толщины. Момент инерции с осью вращения, проходящей перпендикулярно его плоскости через центр масс, вычисляется так: I = m*R2/2, где R - радиус диска.
- Шар. В виду высокой симметрии этой фигуры, для любого положения оси, проходящей через ее центр, I = 2/5*m*R2, здесь R - шара радиус.
Далее приведем два примера решения задач на применение общей формулы для расчета I и на использование свойства аддитивности этой величины.
Задача на расчет значения I для системы с дискретным распределением массы
Представим себе стержень длиною 0,5 метра, который сделан из твердого и легкого материала. Этот стержень закреплен на оси таким образом, что она проходит перпендикулярно ему точно посередине. На этот стержень подвешены 3-и груза следующим образом: с одной стороны оси имеются два груза массами 2 кг и 3 кг, находящиеся на расстояниях 10 см и 20 см от его конца, соответственно; с другой стороны подвешен один груз массой 1,5 кг к концу стержня. Для этой системы необходимо рассчитать момент инерции I и определить, с какой скоростью ω стержень будет вращаться, если к одному из его концов приложить силу 50 Н в течение 10 секунд.
Поскольку массой стержня можно пренебречь, тогда необходимо рассчитать момент I для каждого груза и сложить полученные результаты, чтобы получить полный момент системы. Согласно условию задачи от оси груз массой 2 кг находится на расстоянии 0,15 м (0,25-0,1), груз 3 кг - 0,05 м (0,25-0,20), груз 1,5 кг - 0,25 м. Воспользовавшись формулой для момента I материальной точки, получаем:
I = I1+I2+I3 = m1*r12 + m2*r22 + m3*r32 = 2*(0,15)2+3*(0,05)2+1,5*(0,25)2 = 0,14 625 кг*м2.
Обратим внимание, что при выполнении вычислений все единицы измерения были переведены в систему СИ.
Чтобы определить угловую скорость вращения стержня после действия силы, следует применить формулу с моментом силы, которая была приведена во втором пункте статьи:
M = I*α
Поскольку α = Δω/Δt и M = r*F, где r - длина плеча, получаем:
r*F = I*Δω/Δt => Δω = r*F*Δt/I
Учитывая, что r = 0,25 м, подставляем числа в формулу, получаем:
Δω = r*F*Δt/I = 0,25*50*10/0,14625 = 854,7 рад/с
Полученная величина является достаточно большой. Чтобы получить привычную частоту вращения, следует поделить Δω на 2*pi радиан:
f = Δω/(2*pi) = 854,7/(2*3,1416) = 136 с-1
Таким образом, приложенная сила F к концу стержня с грузами за 10 секунд раскрутит его до частоты 136 оборотов в секунду.
Расчет значения I для стержня, когда ось проходит через его конец
Пусть имеется однородный стержень массой m и длиной L. Необходимо определить момент инерции, если ось вращения расположена на конце стержня перпендикулярно ему.
Воспользуемся общим выражением для I:
I = ρ*∫V(ri2*dV)
Разбивая рассматриваемый объект на элементарные объемы, заметим, что dV может быть записано, как dr*S, где S - площадь сечения стержня, а dr - толщина элемента разбиения. Подставляя это выражение в формулу, имеем:
I = ρ*S*∫L(r2*dr)
Этот интеграл вычислить достаточно просто, получаем:
I = ρ*S* (r3/3)∣0L => I = ρ*S*L3/3
Поскольку объем стержня равен S*L, а масса - ρ*S*L, то получаем конечную формулу:
Любопытно отметить, что момент инерции для того же стержня, когда ось проходит через его центр масс, в 4 раза меньше полученной величины (m*L2/3/(m*L2/12)=4).