Найти функцию f по некоторой заданной зависимости, в которую входят сама функция с аргументами и ее производные. Подобный тип задач актуален в физики, химии, экономики, технике и других областях науки. Подобные зависимости носят название дифференциальных уравнений. К примеру, y' - 2xy = 2 - это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Посмотрим, как подобные типы уравнений решаются.
Что это?
Уравнение, выглядящее следующим образом:
- f(y, y', ..., y(10), y(11), ..., y(k), x) = 0,
носит название обыкновенного дифура и характеризуется как уравнение порядка k, и зависит оно от x и производных y', y'', ... - вплоть до k-й.
Разновидности
В случае, когда функция, которую нужно найти, в дифференциальном уравнении зависима только от одного аргумента, тип дифференциального уравнения именуется обыкновенным. Иными словами, в уравнении функция f и все ее производные зависят только от аргумента x.
При зависимости же искомой функции от нескольких разных аргументов уравнения носят название дифференциальных в частных производных. В общем случае они выглядят:
- f(x, fx', ..., y, fy'..., z, ..., fz'', ...),
где под выражением fx' понимается производная функции по аргументу x, а fz'' - двойная производная функции по аргументу z, и т. д.
Решение
Несложно догадаться, что именно считается решением диф. уравнения. Это функция, подстановка которой в уравнение дает тождественный результат по обе стороны знака равно, называется решением. Например, уравнение t''+a2t = 0 имеет решение в виде t = 3Cos(ax) - Sin(ax):
Проведя упрощение уравнения 3 мы выясним, что t''+a2t = 0 при всех значения аргумента x. Однако стоит сразу оговориться. Уравнение t = 3Cos(ax) - Sin(ax) является не единственным решением, а лишь одним из бесконечного множества, которое описывается формулой mCos(ax) + nSin(ax), где m и n - это произвольные числа.
Причина такого соотношения заключается в определение первообразной функции в интегральном исчислении: если Q - первообразная (точнее одна из многих) для функции q , то ∫q(x) dx = Q(x) + C, где С - произвольная константа, которая обнуляется при обратной операции - взятии производной функции Q'(x).
Опустим определение того, что такое решение уравнения k-го порядка. Не трудно представить, чем больше порядок производной, тем больше констант возникает в процессе интегрирования. Также следует уточнить, что описанное выше определение для решения не является полным. Но для математиков XVII века оно было достаточным.
Ниже будут рассмотрены лишь основные типы дифференциальных уравнений первого порядка. Самые базовые и простые. Помимо них существуют и другие диф. уравнения: однородные, в полных дифференциалах и Бернулли. Но решение всех часто связано с методом разделяющихся переменных, который будет рассмотрен ниже.
Разделение переменных как способ решения
F = 0 - представляет собой диф. уравнение порядка 1. При решении данного типа дифференциальных уравнений они легко приводятся к виду y' = f. Так, например, уравнение ey' - 1 - xy = 0 приводится к виду y' = ln(1 + xy). Операция приведения дифференциального уравнения к подобному виду называется его разрешением относительно производной y'.
После разрешения уравнения нужно привести его к дифференциальному виду. Это делается путем умножения на dx всех частей равенства. Из y' = f получается y'dx = fdx. С учетом того, что y'dx = dy, получим уравнение в виде:
- dy = f dx - которое называется дифференциальной формой.
Очевидно, y' = f(x) - наиболее простое дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение достигается простым интегрированием. Более сложным видом является q(y)*y' = p(x), в котором q(y) - это функция, зависящая от y, а p(x) - функция зависящая от x. Приведя его к дифференциальному виду, получим:
- q(y)dy = p(x)dx
Легко понять, почему уравнение называется разделенным: его левая часть содержит только переменную y, а правая - только x. Решается такое уравнение с применением следующей теоремы: если у функции p существует первообразная P, а у q - Q, то интеграл дифура будет Q(y) = P(x) + C.
Решим уравнение z'(x)ctg(z) = 1/x. Приведя это уравнение к дифференциальному виду: ctg(z)dz = dx/x; и взяв интеграл от обеих частей ∫ctg(z)dz = ∫dx/x; получим решение в общем виде: C + ln|sin(z)| = ln|x|. Красоты ради данное уравнение по правилам логарифмов может быть записано в иной форме, если положить C = ln W - получим W|sin(z)| = |x| или, еще проще, WSin(z) = x.
Уравнения вида dy/dx = q(y)p(x)
Разделение переменных можно применить на уравнениях вида y' = q(y)p(x). Нужно только учесть случай, когда q(y) при некотором числе а обращается в нуль. То есть q(a) = 0. В таком случае функция y = a будет решением, т. к. для нее y' = 0, следственно, q(a)p(x) также равно нулю. Для всех остальных значений, где q(y) не равно 0, можно записать дифференциальную форму:
- p(x) dx = dy / q(y),
интегрируя которую, получают общее решение.
Решим уравнение S' = t2(S-a)(S-b). Очевидно, корнями уравнения являются числа a и b. Поэтому S=a и S=b - решения данного уравнения. Для других значений S имеем дифференциальную форму: dS/[(S-a)(S-b)] = t2dt. Откуда легко получить общий интеграл.
Уравнения вида H(y)W(x)y' + M(y)J(x) = 0
Разрешив данный вид уравнение относительно y' получим: y' = - C(x)D(y) / A(x)B(y). Дифференциальная форма данного уравнения будет такова:
- W(x)H(y)dy + J(x)M(y)dx = 0
Для решения данного уравнения нужно рассмотреть нулевые случаи. Если а - корень W(x), то x = a - интеграл, т. к. из этого следует, что dx = 0. Аналогично, со случаем, если b - корень M(y). Тогда для области значений x, при которых W и M не обращаются в ноль, можно провести разделение переменных путем деления на выражение W(x)M(y). После чего выражение можно интегрировать.
Множество видов уравнений, к которым на первый взгляд невозможно применить разделение переменных, оказываются таковыми. Например, в тригонометрии это достигается за счет тождественных преобразований. Также часто может быть уместной какая-либо остроумная замена, после которой можно будет использовать метод разделенных переменных. Типы дифференциальных уравнений 1 порядка могут выглядеть самым разным образом.
Линейные уравнения
Не менее важный тип дифференциальных уравнений, решение которых происходит путем подстановки и сведения их к методу разделенных переменных.
- Q(x)y + P(x)y' = R(x) - представляет собой уравнение, линейное при рассмотрении относительно функции и ее производной. P, Q, R - представляют собой непрерывные функции.
Для случаев, когда P(x) не равном 0, можно привести уравнение к разрешенному относительно y' виду, поделив все части на P(x).
- y' + h(x)y = j(x), в котором h(x) и j(x) представляют собой соотношения функций Q/P и R/P, соответственно.
Решение для линейных уравнений
Линейное уравнение можно назвать однородным в случае, когда j(x) = 0, то есть h(x)y+ y' = 0. Такое уравнение называется однородным и легко разделяется: y'/y = -h(x). Интегрируя его, получаем: ln|y| = -H(x) + ln(C). Откуда y выражается в виде y = Ce-H(x).
Например, z' = zCos(x). Разделяя переменные и приводя уравнение к дифференциальному виду, после чего интегрируя, получим, что общее решение будет иметь выражение y = CeSin(x).
Неоднородным называется линейное уравнение в его общем виде, то есть j(x) не равно 0. Его решение состоит из нескольких этапов. Сначала следует решить однородное уравнение. То есть приравнять j(x) к нулю. Пусть u - одно из решений соответствующего однородного линейного уравнения. Тогда имеет место быть тождество u' + h(x)u = 0.
Проведем в y' + h(x)y = j(x) замену вида y = uv и получим (uv)' + h(x)uv = j(x) или u'v + uv' + h(x)uv = j(x). Приведя уравнение к виду u(u' + h(x)u) + uv' = j(x) можно заметить, что в первой части u' + h(x)u = 0. Откуда получаем v'(x) = j(x) / u(x). Отсюда вычисляем первообразную ∫v = V+С. Проведя обратную замену, находим y = u(V+C), где u - решение однородного уравнения, а V - первообразная соотношения j / u.
Найдем решение для уравнения y'-2xy = 2, которое относится к типу дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого сначала решим однородное уравнение u' - 2xu = 0. Получим u = e2x + C. Для простоты решения положим C = 0, т. к. для решения поставленной задачи нам нужно лишь одно из решений, а не всевозможные варианты.
После чего проведем подстановку y = vu и получим v'(x)u + v(u'(x) - 2u(x)x) = 2. Затем: v'(x)e2x = 2, откуда v'(x) = 2e-2x. Тогда первообразная V(x) = -∫e-2xd(-2x) = - e-2x + С. В итоге общее решение для y' - 2xy = 2 будет y = uv = (-1)(e2x + С) e-2x = - 1 - Ce-2x.
Как определить тип дифференциального уравнения? Для этого следует разрешить его относительно производной и посмотреть, можно воспользоваться методом разделения переменных напрямую или подстановкой.