Что такое призма? Формулы для длин ее диагоналей, площади поверхности и объема

Человеческая природа такова, что он постоянно стремится к совершенству геометрических форм создаваемых им произведений. Совершенные фигуры в пространстве изучает стереометрия. В данной статье рассмотрим одну из них, которая называется призмой. Формулы, описывающие важные свойства этой фигуры, также приводятся в статье.

Что такое призма?

В стереометрии под названной фигурой понимают пространственный объект, ограниченный двумя одинаковыми многоугольными гранями, находящимися в параллельных плоскостях, и несколькими параллелограммами, которые соединяют соответствующие стороны многоугольников в единую фигуру.

Покажем на примере шестиугольной призмы, как можно построить любую из данного класса фигур. Предположим, что у нас имеется плоский шестиугольник. Он может быть правильным или неправильным. Теперь выберем некоторый вектор в пространстве, который не будет находиться в плоскости шестиугольника, и переместим на этот вектор весь шестиугольник. В новой плоскости мы получим шестиугольник, аналогичный исходному, а фигуры, которые получились в процессе параллельного переноса, будут параллелограммами. Конечная объемная фигура показана ниже. Она называется шестиугольной призмой.

Какие призмы бывают?

Существует несколько видов рассматриваемых фигур, которые важно рассмотреть, поскольку форма описывающих разные свойства формул призм определяется типом последних.

В зависимости от многогранника в основании призмы бывают выпуклыми и вогнутыми, треугольными, четырехугольными и так далее. В зависимости от того, являются ли все параллелограммы призмы прямоугольниками, говорят о наклонных и прямых призмах. Специальный вид призм, изучению свойств которого уделяется должное внимание в курсе стереометрии, - это правильные фигуры, которые от остальных призм отличаются тем, что их основание является правильным многоугольником, и сами они прямые. Набор таких фигур показан ниже.

Далее приведем формулы объема призмы, площади ее поверхности и длины диагоналей, принимая во внимание вид фигуры.

Диагонали призм

Диагоналями призмы называют отрезки, которые соединяют любые две не соседние вершины фигуры. Диагонали могут располагаться как в одной плоскости, например в плоскости основания или боковой грани, так и в объеме призмы. Треугольная призма является единственной и рассматриваемого класса фигур, которая не имеет объемных диагоналей.

Не существует формул общего вида, которые позволяют рассчитать значение длины той или иной диагонали для призмы произвольного типа. Чтобы найти эту длину, необходимо провести некоторый геометрический анализ. Например, для четырехугольной прямой призмы с прямоугольным основанием объемная диагональ вычисляется по формуле:

d = √(a2 + b2 + h2)

Где a, b, h - длины сторон основания и высота фигуры.

В случае правильной шестиугольной призмы, длина диагонали, которая соединяет противоположные вершины разных оснований, вычисляется так:

d = √(4*a2 + h2)

Где h - также высота фигуры, a - длина стороны шестиугольника.

Подобные формулы можно записать для любой диагонали произвольной призмы.

Площадь поверхности призмы

Формулу для площади поверхности любой призмы можно записать, если для начала сделать ее развертку и проанализировать, из каких сторон состоит изучаемая фигура. Поскольку любая призма имеет два n-угольных основания и n параллелограммов, значит, складывая все площади этих фигур, можно получить искомый результат.

Задача вычисления площади поверхности облегчается, если призма является прямой. В такой фигуре все боковые стороны - это прямоугольники, площадь которых легко найти, зная высоту фигуры и длины сторон основания.

Общую для площади призм формулу можно привести только для случая правильной фигуры. Напомним, что правильные призмы состоят из равносторонних и равноугольных оснований и одинаковых прямоугольников боковой поверхности. Для площади основания призмы формула носит универсальный характер:

Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)

Площадь произвольной боковой грани вычисляется так:

S1 = a*h

Теперь остается сложить записанные выражения, учитывая количество сторон фигуры, чтобы получить искомую формулу для площади S всей поверхности призмы:

S = 2*Sn + n*S1 = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*a*h

Как видно, для вычисления величины S правильной призмы достаточно знать длину стороны основания, количество его вершин и высоту фигуры.

Если призма является наклонной, то рассчитать для нее площадь боковой поверхности можно, если вычислить периметр среза Psr, плоскость которого будет перпендикулярна всем боковым граням, а затем умножить этот периметр на длину бокового ребра c. То есть:

Sb = Psr*c

Добавив к величине Sb две площади основания So, мы получим площадь всей поверхности S наклонной фигуры.

Объем фигуры

Для любой призмы, независимо от ее вида, объем вычисляется по следующей универсальной формуле:

V = So*h

Очевидно, что для правильной призмы формула объема приобретает вид:

V = n/4*a2*h*ctg(pi/n)

Что касается наклонных призм, то объем для них вычислить несколько сложнее, поскольку необходимо сначала определить значение высоты h. Чтобы это сделать, следует учитывать значения углов между боковыми гранями и ребрами и основанием.