Как найти расстояние от точки до плоскости: формула и методика. Пример задачи

При рассмотрении таких свойств объемных фигур, как площадь их поверхности или объем, часто появляется необходимость в знании расстояний от вершин до граней. В данной статье покажем, как найти от точки до плоскости расстояние, и приведем соответствующую формулу и методику расчета.

Как задаются точка и плоскость в геометрии?

Каждый школьник знает, что такое точка и плоскость. Как их можно математически задать? Чтобы это сделать, сначала следует ввести систему координат. Точка в этой системе в трехмерном пространстве задается совокупностью трех чисел. Что касается плоскости, то здесь ситуация сложнее. Рассмотрим ее подробнее.

Плоскость представляет собой такую совокупность точек, для которой каждый вектор, образованный двумя произвольными точками этой совокупности, будет перпендикулярен некоторому вектору n¯. Последний называется нормалью к плоскости. Для однозначного задания плоскости необходимо знать ее нормальный вектор и координаты одной любой точки, принадлежащей этой плоскости.

Допустим, у нас имеется точка P(x0; y0; z0) и вектор n¯(A; B; C), тогда каждая точка Q(x ; y ; z ) будет принадлежать плоскости α, если выполняется следующее условие:

(x - x0; y - y0; z - z0)*(A; B; C) = 0.

Это равенство говорит о том, что вектор PQ¯ будет перпендикулярен n¯, если их скалярное произведение равно нулю. Раскрывая записанное равенство, приходим к уравнению:

A*x + B*y + C*z + D = 0, где D = -A*x0-B*y0-C*z0.

Мы получили уравнение плоскости общего вида. Применение этого уравнения позволяет ответить на вопрос: "Как найти расстояние от точки до плоскости в начертательной геометрии и в стереометрии?"

Формула расстояния от плоскости до точки

Предположим, что нам известны координаты некоторой точки P и уравнение плоскости α:

P = (x0; y0; z0);A*x + B*y + C*z + D = 0.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, который должен быть опущен из этой точки к рассматриваемой плоскости. Рассчитать длину перпендикуляра d можно по следующей формуле:

d = |(A*x0 + B*y0 + C*z0 + D)|/√(A2 + B2 + C2).

Таким образом, если нам известно уравнение в общем виде для плоскости, в которой лежит грань рассматриваемой объемной фигуры, то от выбранной вершины рассчитать расстояние до этой грани несложно, выполнив приведенные выше вычисления.

Методика определения расстояния

Записанная в пункте выше формула для d дает однозначный ответ на вопрос о том, как найти расстояние от точки до плоскости в пирамиде, призме или любой другой пространственной фигуре. Тем не менее полезно привести также методику вычисления этого расстояния, которая позволяет глубже разобраться с данной темой.

Запишем еще раз математический способ задания точки и плоскости:

P = (x0; y0; z0);A*x + B*y + C*z + D = 0.

Поскольку расстояние от P до плоскости - это длина перпендикуляра, то зададим для начала уравнение прямой, которая перпендикулярна отмеченной плоскости и проходит через P. В векторной форме это уравнение будет иметь вид:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ*(A; B; C).

Поскольку прямая пересекает плоскость в единственной точке, то существует некоторое значение λ, при котором координаты определенной точки прямой будут удовлетворять уравнению плоскости. Например, этими координатами являются (x1; y1; z1). Расстояние же между двумя точками в пространстве найти несложно, если вычислить модуль построенного на них вектора. В данном случае имеем:

d = √((x1-x0)2 + (y1-y0)2 + (z1-z0)2).

Очевидно, что для нахождения расстояния d нам пришлось проделать гораздо больше математических вычислений, чем в случае использования формулы выше. Тем не менее описанная методика является надежным инструментом расчета расстояний от точки до плоскости, поскольку она не предполагает запоминание приведенной формулы. Единственное, что следует запомнить, это вид уравнения в векторной форме для прямой.

Расчет расстояния от точки до плоскости на примере треугольной пирамиды

Предположим, что имеется правильная треугольная пирамида, высота которой равна 15 см, а длина стороны треугольного основания составляет 9 см. Необходимо рассчитать расстояние от вершины фигуры, принадлежащей основанию, до бокового треугольника.

Как найти расстояние от точки до плоскости треугольника бокового? Ответить на этот вопрос можно, если найти уравнение плоскости, в которой этот треугольник располагается. Введем систему координат таким образом, чтобы ее начало лежало в центре основания фигуры. Тогда искомый треугольник пересекает оси координат в следующих точках:

(0; 0; h);(-a/√3; 0; 0);(0; a/3; 0).

Помимо общей формы записи уравнения для плоскости, существует также уравнение плоскости в отрезках, которое в данном случае имеет вид:

-√3*x/a + 3*y/a + z/h = 1.

Умножая левую и правую части на a*h, получим:

-√3*h*x + 3*h*y + a*z - a*h = 0.

Соответствующие координаты вершины, принадлежащей основанию, равны:

(√3/6*a; -a/2; 0).

Теперь можно воспользоваться формулой для d:

d = |(-√3*h*√3/6*a + 3*h*(-a/2) - a*h)|/√((-√3*h)2 + (3*h)2 + a2) == |(-a*h/2-3/2*a*h-a*h)|/√(12*h2+a2) = 3*a*h/√(12*h2+a2).

Подставляя в это выражение значения a=9 см и h=15 см, получаем искомое расстояние: d = 7,68 см.