3102
5
Для того, чтобы разобраться, как построить график линейной функции, важно понять саму суть функции. Функция — модель зависимости изменений одного параметра от другого.
Тема функциональных зависимостей по традиции открывается линейной функциональной зависимостью. Линейная — это самая простая зависимость. График линейной функции — прямая.
Жизнь и функции
В жизни линейные зависимости обычно встречаются в идеальных искусственных процессах, изменения в которых принимаются за постоянные. Например, когда человек едет куда-то с постоянной скоростью.
Расстояние, которое человек проедет на велосипеде, будет изменяться линейно в зависимости от количества часов, которые он едет. Если 15 километров он проезжает за час (точка А), то за два часа он проедет 30 километров (точка В), за три часа — 45 (точка С).
Зависимость описывается уравнением y = 15x. Как построить график линейной функции в этом случае?
- найти координаты точек, которые являются решением уравнения;
- построить их на координатной плоскости;
- соединить эти точки в линию.
Описание алгоритма
Поиск координат точек, которые являются решением уравнения, сводится к нахождению двух точек, однозначно определяющих прямую. Хотя достаточно выбрать два различных значения х и найти соответствующие им значения y, для самопроверки можно находить три пары значений. Это позволит быстро выявить возможную ошибку в вычислениях. Зачастую первое значение х выбирают равным нулю.
Второе значение х при большом k лучше подбирать рядом с первым. Иначе получится сильный разброс в значениях y и x, например, при x = 4 в рассмотренном уравнении y = 60. В любом случае, до того, как построить график линейной функции по найденным точкам, подбирают масштаб.
Коэффициент при х
Уравнение линейной функции имеет вид y = kx + b. В зависимости от изменения коэффициента при неизвестном меняется и характер графика линейной функции y = kx.
Чем больше по модулю коэффициент, тем большей крутизной обладает прямая, тем сильнее за одно и то же изменение значений х меняются значения y. Коэффициент при х выступает коэффициентом пропорциональности.
Свободный коэффициент
Свободный коэффициент — постоянная, которая не зависит от изменений значения x. Он показывает, где прямая пересекает OY.
Например, человек с утра до 12 часов дня прошел 10 километров, а потом три часа ехал на велосипеде. Тогда расстояние, которое он преодолел за день: y = 15 × 3 + 10. Если же вы хотите вывести формулу для подсчета расстояния в конце каждого часа из трех, которые он проехал на велосипеде, можно воспользоваться: y = 15x + 10. В час дня он проехал 15 × 1 и еще прошел 10, в два часа он проехал 15 × 2, но прошел все те же 10.
График линейной функции y = kx + b описывает прямую, которая имеет угол наклона k и пересекает OY в точке с координатами (0, b). Анализ уравнения часто позволяет решать задачи, не строя график. Но для того, чтобы работать в уме, действия должны быть хорошо закреплены на визуальном материале.
Например, задача: найти точки пересечения y = - x2 и y = 0,5x + 5. Первая функция убывающая, вторая возрастающая, первая находится ниже второй, т. к. ветки параболы направлены вниз, и ее вершина находится в начале координат. Линейная функция должна была бы иметь гораздо больший угол наклона, чтобы быть более крутой и пересечь одну из веток параболы. Поэтому можно однозначно определить, что точек пересечения нет, не строя график и не производя подстановок.
Частные случаи
- Когда нет свободного коэффициента, он (на самом деле) равен нулю, а значит, прямая пересекает OY в нуле.
- Когда нет неизвестной х или y, y и x независимы друг от друга. Например, y = 5. Независимо от того, какое значение примет х, y всегда будет равен 5. Графически это можно представить в виде прямой линии, параллельной OX.
- То же самое справедливо для случая, когда переменная x равна числу: переменная х имеет постоянное значение.
Благодаря анализу уравнения еще до того, как построить график линейной функции, можно узнать ее примерное расположение на OY и угол наклона, а значит, и крутизну. Это помогает не только подобрать правильный масштаб и построить график, но и решить некоторые задачи в уме.
А ЧТО ВЫ ДУМАЕТЕ ОБ ЭТОМ?